Таблиця інтегралів: Повний довідник для студента математики

Інтеграли — це один із найважливіших розділів математичного аналізу, який дозволяє обчислювати площі, обсяги та вирішувати багато інших практичних задач. У цьому довіднику ви знайдете основні формули, типи інтегралів, а також приклади їх використання.

Що таке інтеграл?

Інтеграл — це математичний об’єкт, який представляє собою суму нескінченно малих елементів. Він може бути визначеним або невизначеним:

• Невизначений інтеграл: включає функцію та константу інтегрування (C), наприклад:
  [
  \int f(x) \, dx = F(x) + C
  ]

• Визначений інтеграл: обчислює площу під кривою на відрізку ([a, b]):
  [
  \int_a^b f(x) \, dx = F(b) – F(a)
  ]

Основні типи інтегралів

Існує багато різних видів інтегралів, але основні з них:

• Прості інтеграли: функції, які легко інтегруються.
• Композиції функцій: коли одна функція є складовою іншої.
• Інтеграли з підкорінними функціями: інтегрування функцій видів (\sqrt{x}) або (\frac{1}{x}).
• Інтеграли з тригонометричними функціями.

Основні формули інтегралів

Нижче наведені основні формули, які важливо знати.

Невизначені інтеграли

• Інтеграл постійної:
  [
  \int C \, dx = Cx + C
  ]

• Інтеграл потужності:
  [
  \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1
  ]

• Інтеграл експоненціальної функції:
  [
  \int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C
  ]

• Інтеграл тригонометричних функцій:
  [
  \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C
  ]
  [
  \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C
  ]

Визначені інтеграли

Для визначених інтегралів формули такі:

• Формула Ньютона-Лейбніца:
  [
  \int_a^b f(x) \, dx = F(b) – F(a)
  ]

Інтеграли за частинами

Формула інтегрування за частинами:
[
\int u \, dv = uv – \int v \, du
]

де (u) і (dv) повинні бути вибрані з функції (f(x)).

Таблиця інтегралів

Нижче наведена таблиця найпоширеніших інтегралів.

Функція	Невизначений інтеграл
(C)	(Cx + C)
(x^n)	(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C)
(e^x)	(e^x + C)
(\sin(x))	(-\cos(x) + C)
(\cos(x))	(\sin(x) + C)
(\frac{1}{x})	\ln	x	+ C
(\sqrt{x})	(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C)
(\tan(x))	(-\ln	\cos(x)	+ C)

Приклади інтегралів

Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 1: Невизначений інтеграл

Обчисліть:
[
\int (3x^2 – 4x + 5) \, dx
]

Рішення:
[
\int (3x^2 – 4x + 5) \, dx = x^3 – 2x^2 + 5x + C
]

Приклад 2: Визначений інтеграл

Обчисліть:
[
\int_0^2 (2x + 1) \, dx
]

Рішення:

1. Знайдемо невизначений інтеграл:
   [
   \int (2x + 1) \, dx = x^2 + x + C
   ]
2. Застосуємо межі:
   [
   \left[x^2 + x\right]_0^2 = (2^2 + 2) – (0 + 0) = 6
   ]

Інтегрування за частинами: Приклад

Розглянемо функцію:
[
\int x e^x \, dx
]

Рішення:

1. Виберіть (u = x) і (dv = e^x \, dx).
2. Тоді (du = dx) і (v = e^x).
3. Застосуйте формулу:
   [
   \int x e^x \, dx = x e^x – \int e^x \, dx = x e^x – e^x + C
   ]

Машинне інтегрування

В сучасній математиці часто використовуються комп’ютерні програми для інтегрування, такі як MATLAB чи Wolfram Alpha. Вони дозволяють отримувати інтеграли автоматично без зайвих зусиль. Важливо знати, як правильно їх використовувати, щоб бути впевненим у правильності отриманих результатів.

Приклад використання Wolfram Alpha

При вводі функції:

integrate x^2

отримаєте:

(1/3)x^3 + C

Чому важливо знати інтеграли?

Інтеграли мають безліч застосувань у різних областях:

• Фізика: для знаходження роботи, пройденого шляху, обсягу.
• Економіка: для оцінки прибутків та витрат.
• Інженерія: для аналізу сигналів і структур.

Без знання інтегралів важко отримати точні результати в цих сферах.

Поради щодо навчання інтегралів

• Регулярно практикуйтесь: вирішуйте різні типи задач, щоб закріпити знання.
• Використовуйте візуалізації: графіки функцій допоможуть зрозуміти концепцію площі під кривою.
• Вчіть формули: створіть таблицю і повторюйте їх.
• Залучайте ресурси: книги, онлайн-курси, відео можуть надати додаткові пояснення.

Заключення

Інтеграли — це основа математичного аналізу, яку необхідно вивчити, щоб зрозуміти багато інших концепцій. Завдяки цій таблиці інтегралів ви маєте під рукою важливі формули, приклади та рекомендації, які полегшать процес навчання. Пам’ятайте, що практика — це ключ до успіху.