Сфера математики, зокрема аналіз функцій, наповнена складними концепціями. Однією з ключових тем є похідна складеної функції. Ця стаття допоможе вам зрозуміти цю тему, використовуючи просту мову та практичні завдання.
Що таке похідна?
Похідна функції описує, як швидко змінюється значення функції відносно зміни її аргументу. У простих словах, похідна відповідає на запитання: "Як змінюється y при незначній зміні x?"
Основні визначення:
- Функція – це співвідношення між двома змінними, зазвичай позначається як y = f(x).
- Похідна функції f(x) в точці x записується як f'(x) або df/dx.
Що таке складена функція?
Складена функція – це функція, де одна функція вводиться в іншу. Якщо f(x) і g(x) – це дві функції, то складена функція виглядає як h(x) = f(g(x)). У такому випадку похідна цієї функції підлягає правилу ланцюга.
Правило ланцюга
Правило ланцюга стверджує, що похідна складеної функції h(x) дорівнює добутку похідної зовнішньої функції на похідну внутрішньої функції:
[
h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
]
Символіка
- h'(x) – похідна складеної функції.
- f'(g(x)) – похідна зовнішньої функції.
- g'(x) – похідна внутрішньої функції.
Приклади застосування
Розгляньмо кілька прикладів, щоб краще зрозуміти, як працює правило ланцюга.
Приклад 1: Простий випадок
Нехай ( h(x) = (2x + 3)^5 ).
-
Визначимо зовнішню і внутрішню функції:
- Внутрішня: ( g(x) = 2x + 3 )
- Зовнішня: ( f(u) = u^5 ) (де ( u = g(x) ))
-
Знайдемо похідні:
- ( g'(x) = 2 )
- ( f'(u) = 5u^4 )
-
Використаємо правило ланцюга:
[
h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 5(2x + 3)^4 \cdot 2
] - Остаточна відповідь:
[
h'(x) = 10(2x + 3)^4
]
Приклад 2: Складніша функція
Розглянемо функцію ( h(x) = \sin(3x^2 + 1) ).
-
Визначимо функції:
- Внутрішня: ( g(x) = 3x^2 + 1 )
- Зовнішня: ( f(u) = \sin(u) )
-
Знайдемо похідні:
- ( g'(x) = 6x )
- ( f'(u) = \cos(u) )
-
Використаємо правило:
[
h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \cos(3x^2 + 1) \cdot 6x
] - Остаточна відповідь:
[
h'(x) = 6x \cos(3x^2 + 1)
]
Порівняння справжніх та складених функцій
Щоб отримати краще розуміння, розгляньмо як змінюється похідна в простих та складених функціях.
Таблиця порівняння
| Тип функції | Приклад | Похідна |
|---|---|---|
| Проста | ( f(x) = x^2 ) | ( f'(x) = 2x ) |
| Складена | ( h(x) = \sin(x^2) ) | ( h'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x ) |
Практичні завдання
Щоб ви змогли закріпити вивчене, пропонуємо виконати кілька практичних завдань.
Завдання 1
Знайдіть похідну функції ( h(x) = (x^3 + 2)^4 ).
Завдання 2
Обчисліть похідну функції ( h(x) = e^{2x + 1} ).
Завдання 3
Знайдіть похідну від ( h(x) = \ln(5x^2 + 1) ).
Висновок
Розуміння похідних складених функцій є основою для вивчення більш складних концепцій в аналізі. Правило ланцюга дозволяє тонко використовувати композитні функції у різних математичних і практичних задачах.
Практика робить майстра. Чим більше ви працюєте з похідними, тим легше стає їх обчислення. Виконуйте завдання, переключайтеся між простими та складеними функціями, і невдовзі ви станете експертом у цій темі!
Додаткові ресурси
- Книги з математики та аналізу функцій.
- Онлайн-курси з вивчення похідних.
- Вебінари та уроки з практичних прикладів.
Ця стаття надає змогу впевнено і чітко наблизитися до своєрідного світу похідних складених функцій, спрощуючи те, що раніше могло здаватися складним.
