Формули скороченого множення: приклади та їх застосування в математиці

Вступ

Формули скороченого множення є важливим інструментом у математиці, який дозволяє спростити обчислення алгебраїчних виразів. Вони знаходять застосування не лише в школі, але й у вищій математиці, фізиці та економіці. У цій статті ми розглянемо основні формули скороченого множення, надамо численні приклади їх застосування та порівняємо різні формули.

Що таке формули скороченого множення?

Формули скороченого множення — це ідентичності, які дозволяють швидко виконувати множення певних алгебраїчних виразів. При їх використанні можна уникнути тривалих обчислень, зекономивши час та зусилля.

Основні формули

Ось кілька основних формул скороченого множення:

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a – b)² = a² – 2ab + b²
• a² – b² = (a – b)(a + b)
• (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Основні формули скороченого множення

Розглянемо детальніше кожну формулу.

Квадрат суми

Формула:

[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
]

Приклад

Візьмемо a = 3 і b = 5:

[
(3 + 5)^2 = 8^2 = 64
]

Але з використанням формули:

[
3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 5 + 5^2 = 9 + 30 + 25 = 64
]

Квадрат різниці

Формула:

[
(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2
]

Приклад

Нехай a = 7, b = 4:

[
(7 – 4)^2 = 3^2 = 9
]

З формулою:

[
7^2 – 2 \cdot 7 \cdot 4 + 4^2 = 49 – 56 + 16 = 9
]

Різниця квадратів

Формула:

[
a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)
]

Приклад

Візьмемо a = 10, b = 6:

[
10^2 – 6^2 = 100 – 36 = 64
]

З формулою:

[
(10 – 6)(10 + 6) = 4 \cdot 16 = 64
]

Добуток двох двочленів

Формула:

[
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
]

Приклад

Нехай a = 1, b = 2, c = 3, d = 4:

[
(1 + 2)(3 + 4) = 3 \cdot 7 = 21
]

З формулою:

[
1 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 3 + 4 + 6 + 8 = 21
]

Застосування формул скороченого множення

Формули скороченого множення використовуються в багатьох галузях математики. Розглянемо кілька з них.

В алгебрі

У алгебрі формули скороченого множення допомагають спрощувати вирази та розв’язувати рівняння.

У геометрії

У геометрії скорочене множення використовують для обчислення площ та об’ємів різних геометричних фігур.

В аналітичній geometrії

Формули скороченого множення часто застосовуються для спрощення обчислень координат точок та відстаней між ними.

У фізиці

Фізики використовують ці формули для розрахунків у механіці, термодинаміці та електродинаміці.

Порівняння формул скороченого множення

Можемо підготувати таблицю, яка допоможе вам порівняти основні формули.

Формула	Суть	Приклад
Квадрат суми	Сумування двох квадратів	(a + b)² = a² + 2ab + b²
Квадрат різниці	Віднімання двох квадратів	(a – b)² = a² – 2ab + b²
Різниця квадратів	Різниця квадратів перетворюється в добуток	a² – b² = (a – b)(a + b)
Добуток двох двочленів	Розширення добутку двох двочленів	(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Основні переваги використання формул

1. Швидкість: дозволяють виконувати розрахунки набагато швидше.
2. Простота: спрощують вирази, що робить їх легшими для розуміння.
3. Можливість уникнути помилок: менше етапів в обчисленнях означає менше шансів на помилки.

Приклади застосування у завданнях

Розглянемо кілька практичних завдань, у яких можна використати формули скороченого множення.

Завдання 1

Обчисліть (x + 3)².

Рішення:

Застосовуємо формулу:

[
(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9
]

Завдання 2

Спрощення виразу x² – 9.

Рішення:

Застосовуємо різницю квадратів:

[
x^2 – 9 = x^2 – 3^2 = (x – 3)(x + 3)
]

Завдання 3

Обчисліть (2a + 5)(3a + 4).

Рішення:

Застосовуємо добуток двох двочленів:

[
(2a + 5)(3a + 4) = 2a \cdot 3a + 2a \cdot 4 + 5 \cdot 3a + 5 \cdot 4 = 6a^2 + 8a + 15a + 20 = 6a^2 + 23a + 20
]

Висновок

Формули скороченого множення є невід’ємною частиною алгебри і математики в цілому. Вони спрощують рішення задач та підвищують ефективність обчислень. Оволодіння цими формулами дозволить вам значно покращити свої навички в математиці та розвивати логічне мислення.

Продовжуйте практикуватися у використанні формул, адже вони відкривають двері до нових знань та розумінь у світі чисел. Знання формул скороченого множення не лише допомагає у навчанні, але й є корисним у повсякденному житті.