Дискримінант приклади: Як швидко розв’язати квадратні рівняння?

Квадратні рівняння — це основна частина алгебри, яка часто зустрічається в шкільній програмі та різних галузях науки і техніки. Одним з найважливіших понять при розв’язанні квадратних рівнянь є дискримінант. У цій статті ми розглянемо, що таке дискримінант, як його розрахувати, та як використовувати його для швидкого і точного розв’язання квадратних рівнянь.

Що таке квадратне рівняння?

Квадратне рівняння — це рівняння вигляду:

[ ax^2 + bx + c = 0 ]

де:

• ( a, b, c ) — коефіцієнти,
• ( a \neq 0 ),
• ( x ) — невідома змінна.

Квадратне рівняння може мати:

• два різні корені,
• один подвійний корінь,
• жодного дійсного кореня.

Дискримінант: визначення та формула

Дискримінант квадратного рівняння визначається за формулою:

[ D = b^2 – 4ac ]

Ця величина дозволяє визначити кількість і тип коренів квадратного рівняння. Можливі варіанти:

• Якщо ( D > 0 ) — два різні дійсні корені.
• Якщо ( D = 0 ) — один подвійний дійсний корінь.
• Якщо ( D < 0 ) — немає дійсних коренів (корені комплексні).

Приклад 1: два різні корені

Розглянемо рівняння:

[ 2x^2 – 4x + 1 = 0 ]

1. Обчислимо дискримінант:

   [
   D = (-4)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 – 8 = 8
   ]

2. Визначаємо кількість коренів:

   Оскільки ( D > 0 ), рівняння має два різні дійсні корені.

3. Знайдемо корені за формулою:

   [
   x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}
   ]

Приклад 2: один подвійний корінь

Розглянемо рівняння:

[ x^2 – 4x + 4 = 0 ]

1. Обчислимо дискримінант:

   [
   D = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 – 16 = 0
   ]

2. Визначаємо кількість коренів:

   Оскільки ( D = 0 ), рівняння має один подвійний дійсний корінь.

3. Знайдемо корінь:

   [
   x = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2 \cdot 1} = 2
   ]

Приклад 3: немає дійсних коренів

Розглянемо рівняння:

[ x^2 + 2x + 5 = 0 ]

1. Обчислимо дискримінант:

   [
   D = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 – 20 = -16
   ]

2. Визначаємо кількість коренів:

   Оскільки ( D < 0 ), рівняння не має дійсних коренів.

3. Корені:

   У цьому випадку корені будуть комплексними:

   [
   x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2 \cdot 1} = -1 \pm 2i
   ]

Пошук коренів квадратних рівнянь: покрокова інструкція

1. Запишіть рівняння у формі ( ax^2 + bx + c = 0 ).
2. Обчисліть дискримінант ( D = b^2 – 4ac ).
3. Визначте кількість коренів за значенням дискримінанта:
   • ( D > 0 ) — два різні корені.
   • ( D = 0 ) — один подвійний корінь.
   • ( D < 0 ) — комплексні корені.

4. Знайдіть корені за формулою:
   [
   x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
   ]

Порівняння коренів квадратних рівнянь з різними дискримінантами

Дискримінант (D)	Кількість коренів	Тип коренів
(D > 0)	2	Різні дійсні корені
(D = 0)	1	Подвійний дійсний корінь
(D < 0)	0	Комплексні корені

Використання дискримінанту в практиці

Знання про дискримінант та спосіб розв’язання квадратних рівнянь використовуються в багатьох галузях, таких як:

• Фізика: Для рішення задач на рух, де використовується кінематичне рівняння.
• Економіка: Для моделювання попиту та пропозиції.
• Інженерія: Для розрахунків, пов’язаних з механікою та електрикою.

Приклад із фізики

Припустимо, вам потрібно підрахувати, коли предмет, що кинуть з певною швидкістю, досягне землі. Ви можете використати квадратне рівняння, щоб знайти час, використовуючи формулу руху.

Інші методи розв’язання квадратних рівнянь

Крім використання дискримінанта, існують й інші способи розв’язання квадратних рівнянь:

• Факторизація (якщо можливо, вписуючи рівняння у вигляді добутку двох біномів).
• Графічний метод (побудова графіку функції і знаходження перетинів з віссю (x)).
• Системи рівнянь (використання параметрів).

Порівняння методів розв’язання

Метод	Переваги	Недоліки
Дискримінант	Швидкість і точність	Не завжди зрозуміло для учнів
Факторизація	Легкість у простих випадках	Можливі труднощі в складніших рівняннях
Графічний метод	Візуалізація рішень	Не завжди доступний або точний
Системи рівнянь	Можливість вирішення складніших задач	Вимагає більше часу та уваги

Висновок

Розуміння дискримінанту є критично важливим для ефективного розв’язання квадратних рівнянь. За допомогою цих знань ви можете швидко і точно знайти корені рівняння, що є цінним у багатьох сферах. Слідкуйте за практикою та спробуйте використовувати всі доступні методи для досягнення найкращих результатів.